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逻辑回归

逻辑回归是二分类任务中最常用的机器学习算法之一。它的设计思路简单，易于实现，可以用作性能基准，且在很多任务中都表现良好。

本文从以下几个方面讲述逻辑回归：

  • 什么是逻辑回归？
  • 它是如何工作的。
  • 逻辑回归 vs 线性回归
  • 优缺点
  • 何时适用
  • 多分类任务（OvA, OvO）
  • 其他分类算法
  • 总结

什么是逻辑回归

和很多其他机器学习算法一样，逻辑回归也是从统计学中借鉴过来的，尽管名字里有回归两个字，但它不是一个需要预测连续结果的回归算法。与之相反，逻辑回归是二分类任务的首选方法。它输出一个0到1之间的离散尔值结果。简单来讲，它的结果不是0就是。

癌症检测算法可看做是逻辑回归问题的一个简单例子，这种算法输入病理图片并且应该辨别患者患有癌症（1）或没有癌症（0）。

它是如何工作的？

逻辑回归通过使用其固有的逻辑函数估计概率，来衡量因变量（目标预测标签）与一个或者多个自变量（特征）之间的关系。 然后这些概率必须二值化才能真的进行预测。这就是逻辑函数的任务，也称为sigmoid函数。sigmoid函数是一个S形曲线，它可以将任意实数值映射到介于0和1之间的值，但不能取0或1.然后使用阈值分类器将0和1之间的值转换为0或1. 下图说明了逻辑回归得出预测所需的所有步骤。 logistic_regreesion

假设函数 （Hypothesis function）

逻辑回归的假设函数形式如下：

这个函数称为sigmoid函数，也称为逻辑函数，其函数曲线如下：

从上图可以看到sigmoid函数是一个s形的曲线，它的取值在[0,1]之间，在远离0的地方函数的值会很快接近0/1.这个性质使我们能够以概率的方式来解释。 一个机器学习的模型，实际上就是把决策函数限定在某一组条件下，这组限定条件就决定了模型的假设空间。当然，我们还希望这组限定条件简单而合理。而逻辑回归模型所做的假设是： 这里的g(h)是上面提到的sigmoid函数，相应的决策函数是： 选择0.5作为阈值是一个一般的做法，实际应用时特定情况可以选择不同阈值。

决策边界（Decision Boundary）

决策边界，也称为决策面，是用于在N维空间，将不同类别样本分开的平面或曲面。 线性决策边界： 决策边界： -3 + x1 +x2 = 0

非线性决策边界 决策边界： -1 + x1^2 +x2^2 = 0

决策边界其实是一个方程，在逻辑回归中，决策边界由theta’ X=0定义。 假设函数（h=g(z)）用于计算样本属于某种类别的可能性；决策函数(h=1(g(z)>0.5))用于计算样本的类别；决策边界（θ^Tx=0）是一个方程，用于标识出分类函数（模型）的分类边界。

代价函数（Cost Function）

逻辑回归中，采用如下的形式计算样本的代价值：

整合一下，得到逻辑回归中的代价函数：

优化方法

在逻辑回归中，使用梯度下降法对代价函数进行优化，完整形式如下：

注意： 逻辑回归和线性回归问题中，梯度下降算法的形式看上去一致，但实际上两者完全不同，因为假设函数是不同的，需要特别注意这一点。

其向量化实现（vectorized implementation）如下：

逻辑回归 vs 线性回归

逻辑回归得到一个离散的结果，线性回归得到一个连续的结果。预测房价的模型返回连续结果，是线性回归。癌症检测的结果是你有癌症或没有，是逻辑回归。

优缺点

逻辑回归是一种被人们广泛使用的算法，它非常高效，不需要太大的计算量，又通俗易懂，不需要缩放输入特征，不需要任何调整，且容易调整，并且输出校准好的预测概率。与线性回归一样，当你去掉和输出变量无关的属性以及相似度高的属性时，逻辑回归效果确实会更好。因此特征处理在逻辑回归和线性回归的性能方面起着重要的作用。

逻辑回归的另一个优点是它非常容易实现，且训练起来很高效。 它的一个缺点就是我们不能用逻辑回归来解决非线性问题，因为它的决策边界是线性的。

何时适用

逻辑回归通过线性边界将你的输入分成两个区域，每个类别划分一个区域。因为，你的数据应当是线性可分的，如下图：

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